Участники программы узнают, чем похожи серединный перпендикуляр и биссектриса, почему формулы сокращенного умножения – это не нудно, а нужно. Часть тем будет посвящена логическим задачам. Логика — это фундамент математики, без неё невозможно дальнейшее изучение не только комбинаторики, но и алгебры, и геометрии. Участники программы познакомятся с азами теории графов, перечислительной комбинаторики и теории игр.

Тема 1. Зачем нужны буквы.

Введение переменных для решения текстовых задач. Введение одной переменной, введение нескольких переменных. Введение переменных в задачах на доказательство.

Тема 2. Правила сложения и умножения.

Правила суммы и произведения, их применение для решения задач перечислительной комбинаторики.

Тема 3. Логические таблицы.

Логические таблицы как способ визуализации условия некоторых логических задач. Логические задачи, которые используют в своем решении одну или несколько логических таблиц. Логические задачи, использующие соображения взаимного расположения.

Тема 4. Четность.

Четность суммы и произведения двух целых чисел. Формализация: представление четного числа в виде 2k, а нечетного – в виде 2k+1. Четность суммы и произведения нескольких целых чисел.

Тема 5. Перечислительная комбинаторика. Перестановки.

Количество перестановок. Классические задачи, в которых возникает формула для числа перестановок. Количество перестановок с повторениями.

Тема 6. Истинные и ложные высказывания.

Логические задачи, содержащие как истинные, так и ложные утверждения. Перебор возможных истинностей высказываний или возможных исходов. Парные высказывания.

Тема 7. Простые и составные числа.

Понятия простого и составного числа. Решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел. Алгоритмы проверки числа на простоту. Существование сколь угодно длинной последовательности составных подряд идущих натуральных чисел.

Тема 8. Четность и чередование.

Четные и нечетные числа. Четность суммы и разности двух чисел. Четность суммы произвольного числа чисел. Четность произведения. Чередование. Связь чередования и четности.

Тема 9. Разбиение на пары.

Построение простейших биекций между множествами. Разбиение на пары. Невозможность построения биекции между множествами с разной четностью числа элементов.

Тема 10. Десятичная запись числа.

Последняя цифра числа. Последняя цифра четных и нечетных чисел, последняя цифра квадратов и кубов. Количество цифр в больших числах. Общий вид натурального числа. Ребусы и способы их решения.

Тема 11. Введение в графы.

Базовые понятия теории графов: вершина, ребро, степень вершины, связность, компонента связности. Типовые задачи, при решении которых удобно визуализировать картинку в виде графа. Подсчет числа ребер, лемма о рукопожатиях.

Тема 12. Признаки делимости.

Признаки делимости, основанные на рассмотрении последних цифр числа: на 2, на 4, на 5, на 10. Признаки делимости, основанные на рассмотрении сумм цифр числа: на 3, на 9, на 11. Комбинированные признаки делимости.

Тема 13. Признаки равенства треугольников.

Доказательство трех признаков равенства треугольников. Решение различных задач на их применение.

Тема 14. Основная теорема арифметики.

Разложение числа на простые множители. Основная теорема арифметики. Лемма Евклида. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное. Использование разложения на простые множители для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Диофантовы уравнения. Решение диофантовых уравнений с помощью разложения на множители.

Тема 15. Равнобедренные треугольники и ГМТ.

Равнобедренные треугольники. Свойства и признаки равнобедренных треугольников. Медианы, биссектрисы и высоты равнобедренных треугольников. Понятие серединного перпендикуляра. Геометрический перпендикуляр и биссектриса, как геометрические места точек.

Тема 16. Рассуждения от противного.

Доказательства от противного, формализация метода. Принцип Дирихле.

Тема 17. Делимость и деление с остатком.

Делимость на произвольные числа. Остаток, деление с остатком. Арифметические свойства остатков: остаток суммы, разности и произведения двух чисел. Остатки простых чисел при делении на небольшие числа. Остатки квадратов целых чисел при делении на 3, 4, 5, остатки кубов целых чисел при делении на 3, 4, 7, 9. Решение задач с помощью перебора остатков. Решение задач с помощью замены чисел на числа с такими же остатками.

Тема 18. Параллельность и сумма углов треугольника.

Углы при параллельных прямых. Теорема о внешнем угле треугольника. Сумма углов треугольника. Сумма углов многоугольника при небольшом количестве вершин. Вычисление углов между высотами треугольника и углов между биссектрисами треугольника.

Тема 19. Турниры. Турнирные таблицы.

Однокруговые турниры. Шахматная и футбольная система начисления очков. Суммарное количество игр и суммарное количество очков в однокруговом турнире. Турнирные таблицы. Оценки в задачах на турниры.

Тема 20. Формулы сокращенного умножения.

Стандартные формулы сокращенного умножения и идеи их применения в задачах. Также демонстрируется полезность разложения на множители алгебраических выражений.

Тема 21. Параллельность и сумма углов треугольника. Продолжение.

Введение переменных в задачах на подсчет углов. Стандартные обозначения для углов треугольника. Формула для вычисления угла между высотами и угла между биссектрисами. Сумма углов 
n-угольника.

Тема 22. Рыцари и лжецы.

Логические задачи на рыцарей и лжецов. Задачи, решающиеся перебором. Задачи, решающиеся принципом крайнего. Логические задачи, не являющиеся задачами про рыцарей и лжецов, но похожие по математическому содержанию.

Тема 23. Текстовые задачи на движение.

Различные виды задач на движение, их специфика: движение по прямой, движение по кругу, движение по реке. Понятия скорости сближения и скорости удаления. Как грамотно составленный чертеж и правильно выбранные переменные помогают существенно упростить решение задачи. Задачи на совместную работу, аналогия с задачами на движение: работа – это путь, производительность – это скорость выполнения работы.

Тема 24. Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Частные случаи прямоугольных треугольников: прямоугольные треугольники с углами 30° и 45°. Медиана прямоугольного треугольника. Равенство медианы треугольника половине стороны как признак прямоугольного треугольника.

Тема 25. Оценка + пример.

Задачи на максимум и минимум: «Какое наибольшее...» или «Какое наименьшее...». Решение таких задач состоит из двух частей, одна из которых называется «оценка», а другая – «пример». Оценка, как правило, является более сложной частью задачи, чем пример. Однако иногда сначала полезно сделать оценку, чтобы получить информацию, необходимую для построения примера. Блок задач, в которых оценка делается с помощью разбиения на части: задачи на клетчатой доске.

Тема 26. НОД и НОК.

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух или большего количества чисел. Вычисление НОД и НОК с использованием разложения на простые множители. Основное свойство НОД, вычисление НОД и НОК с использованием основного свойства. Выделение наибольшего общего делителя при решении диофантовых уравнений.

Тема 27. Диофантовы уравнения.

Различные способы решения диофантовых уравнений: разложение на множители, рассмотрение остатков по небольшим модулям, использование соображений взаимной простоты, выделение наибольшего общего делителя. Параметризация пифагоровых троек.

Тема 28. Математические игры. Симметрия.

Введение в математические игры. Определение математической игры и на разных примерах объясняется, что такое стратегия и почему в математической игре обязательно есть единственный победитель, то есть не может быть выигрышных стратегий у обоих игроков. Игры, выигрышная стратегия в которых основана на симметрии. Игры-шутки, то есть игры, результат которых не зависит от действий игроков.

Тема 29. Дополнительные построения.

Основные виды дополнительных построений в геометрии. Удвоение медианы, медиана в прямоугольном треугольнике, признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане. Перекладывание отрезков: разбиение отрезка в сумму двух других. Перекладывание треугольников. Полупризнак равенства треугольников по двум сторонам и углу не между ними.

Тема 30. Выигрышные и проигрышные позиции.

Различные стратегии в математических играх. Стратегия дополнения, стратегия разбиения на пары, стратегия принуждения. Общие идеи и анализ выигрышных и проигрышных позиций.